Gazzaniga sinh ra ở Murphy, Santa Fe, một thị trấn nhỏ ở Argentina, đó cũng là nơi huấn luyện viên của anh tại Tottenham Hotspur Mauricio Pochettino được sinh ra. Cha anh là Daniel Gazzaniga, một cầu thủ bóng đá, cũng như anh trai Gianfranco của anh, người đang là thủ môn cho SD Ponferradina. Gazzaniga học tại trường công lập duy nhất và một trường cao đẳng thứ cấp ở Murphy. Anh chơi cho đội bóng đá của Centro Recreativo Unión y Cultura ở Murphy với vị trí là một thủ môn.